作者系中國社會(huì )科學(xué)院研究員，專(zhuān)著(zhù)《可能世界的名字》入選《國家哲學(xué)社會(huì )科學(xué)成果文庫》

核證邏輯開(kāi)始于20世紀90年代的“證明邏輯”，后者是為直覺(jué)主義邏輯提供算術(shù)語(yǔ)義的一個(gè)部分。根據哥德?tīng)柕囊粋�(gè)推理結果，直覺(jué)主義邏輯嵌入到S4，由于哥德?tīng)柌煌耆�性定理，S4的必然性算子不能作為算術(shù)中的形式可證性；但根據哥德?tīng)?938年的一個(gè)推理想法，S4的必然性可以看作“顯式”可證性謂詞。這一思想在20世紀90年代被阿逖莫夫獨立發(fā)現，成為建立證明邏輯系統的動(dòng)機，模態(tài)算子被一族顯式“證明項”所替換。阿逖莫夫證明的“算術(shù)完全性定理”表明，S4可嵌入到證明邏輯，而證明邏輯可嵌入到形式算術(shù)。所有這些一起為直覺(jué)主義邏輯提供了一個(gè)算術(shù)語(yǔ)義學(xué)�！昂俗C邏輯”是把證明方法論內部化的模態(tài)邏輯新分支。

可能世界語(yǔ)義學(xué)

模態(tài)邏輯是關(guān)于必然性和可能性的邏輯，或者說(shuō)，是關(guān)于“一定是”和“可能是”的邏輯。必然性和可能性也可做其他解釋?zhuān)赫鎰菽�態(tài)邏輯把必然解釋為必然真；道義邏輯則把必然解釋為道義必然性或規范必然性。必然也可以指“知道為真”或“相信為真”，這是認知邏輯的解釋?zhuān)蝗绻�指“總是為真”或“從此總是為真”，則是時(shí)態(tài)邏輯的解釋。還可以把“必然p”解釋為“p是可證的”。作為必然性和可能性的邏輯，模態(tài)邏輯不僅考慮事物實(shí)際存在方式的真和假，而且考慮“如果事物處在與實(shí)際存在方式不同的存在方式中，那么什么將是真的或假的”。如果一個(gè)人考慮到了事物在真實(shí)世界中的存在方式，那他或許也會(huì )考慮事物在可替代的、非真實(shí)即可能的世界中是如何地不同于真實(shí)世界中的存在方式。邏輯關(guān)注真和假，模態(tài)邏輯則關(guān)注真實(shí)世界和其他可能世界中的真和假。在這個(gè)意義上，一個(gè)命題在一個(gè)世界中是必然的僅當它在可能替代該世界的所有世界中為真，它是可能的則僅當它在可能替換該世界的某個(gè)可能世界中為真。

以此為基礎來(lái)考慮模態(tài)邏輯有效性的可能世界語(yǔ)義學(xué)始于20世紀50年代晚期和60年代早期�？赡苁澜缡强赡苁澜缯Z(yǔ)義學(xué)的核心概念，模態(tài)邏輯歷史中最主要的突破性進(jìn)展是可能世界語(yǔ)義學(xué)的提出，由于簡(jiǎn)單、自然以及起源于哲學(xué)等特點(diǎn)，可能世界語(yǔ)義學(xué)一直是模態(tài)邏輯模型論研究的基本工具。

可能世界的名字

可能世界語(yǔ)義學(xué)與舊有的句法傳統之間的對應并不完美，局部視角與標準模態(tài)語(yǔ)言的全局視角兩者之間的不對稱(chēng)正是問(wèn)題的來(lái)源。也就是說(shuō)，在可能世界語(yǔ)義學(xué)中具有根本地位的（模型中的）可能世界并沒(méi)有在模態(tài)句法中表現出來(lái)。這種不對稱(chēng)情形導致了許多并非我們需要的結果，比如，缺乏對許多語(yǔ)義特征的充分表示，缺乏合適的模態(tài)證明論。前者比較容易解釋?zhuān)�因為標準模態(tài)語(yǔ)言沒(méi)有一套機制來(lái)命名一個(gè)模型中的特殊“可能世界”、斷定或否定可能世界的相等、表達從一個(gè)可能世界到另一個(gè)可能世界的可達性等。這些都屬于模態(tài)模型論的核心問(wèn)題，但在標準句法中表示不出來(lái)�？赡苁澜缯Z(yǔ)義學(xué)中框架的許多重要性質(zhì)都以一種非常間接的方式被表達出來(lái)，而其他許多重要性質(zhì)則干脆在標準模態(tài)語(yǔ)言中無(wú)法被表達。

模態(tài)邏輯的標準證明論的應用范圍是非常有限的。普通證明方法應用到標準模態(tài)邏輯時(shí)的問(wèn)題主要與下述事實(shí)有關(guān)：很難處理模態(tài)算子轄域內的信息。對于許許多多的模態(tài)邏輯來(lái)講，存在著(zhù)大量的非公理化的證明系統，但是在大量情況下，這些邏輯提供的都是對它們的形式化中所出現的問(wèn)題的人為解決。一些所謂自然的系統只是某些特殊的邏輯的形式系統，難以進(jìn)行一般化推廣。因此，在標準模態(tài)邏輯中，與可能世界模型所成功提供的語(yǔ)義工作相比，句法方面并沒(méi)有一種統一的架構可言。

一個(gè)自然而然的問(wèn)題就是如何使得句法和語(yǔ)義相互一致起來(lái)。一種可能性就是在語(yǔ)言中為模型中的可能世界引入明顯的句法表示。這樣一種擴張可以為表達力提供足夠的靈活性，不過(guò)也引發(fā)一個(gè)伴生的問(wèn)題：以何種方式實(shí)現這一工作。至少可以有兩種方向：外部方向和內部方向。外部方向是為邏輯語(yǔ)言引入新的元理論工具，模態(tài)邏輯中最流行的解決辦法是為公式添加前綴。內部方向則是添加對象語(yǔ)言以及新的算子，對象語(yǔ)言的豐富通過(guò)對原子進(jìn)行分類(lèi)表達到。這就是混合邏輯所做的工作——在句法中為可能世界引進(jìn)“名字”。

混合邏輯是模態(tài)邏輯的一個(gè)嶄新分支，不過(guò)起源可以追溯到20世紀50年代，只是重要性直到20世紀90年代才被認識到�；旌线壿嫷膬蓚�(gè)根本思想是：滿(mǎn)足關(guān)系的內部化（此時(shí)的滿(mǎn)足關(guān)系是相對而言的）、把命題劃分為普通命題和名字。

添加了這些內容之后，我們可以獲得怎樣的結果？尤其是，這樣一來(lái)確實(shí)就比標準模態(tài)語(yǔ)言?xún)?yōu)越嗎？這個(gè)問(wèn)題在原子分類(lèi)方面尤其有意思：眾所周知，對一階語(yǔ)言的變元進(jìn)行劃分并不會(huì )獲得更多的表達能力，只是比標準單種類(lèi)語(yǔ)言表述得稍微緊致、簡(jiǎn)單一點(diǎn)。但是，在模態(tài)語(yǔ)言中對（命題）變元進(jìn)行分類(lèi)將會(huì )真正改變表達能力從而獲得更多的改進(jìn)。因此，混合的模態(tài)語(yǔ)言主要是修復關(guān)系結構的元素與語(yǔ)言能力之間不對稱(chēng)性的一種工具。簡(jiǎn)而言之，混合語(yǔ)言的引入將有下述用處：獲得更具表達力的語(yǔ)言；完全性理論中更好的表現；更自然、更簡(jiǎn)單的證明理論；可判定性、復雜性、內插性以及其他重要性質(zhì)中的良好行為。

關(guān)于獲得更具表達力的語(yǔ)言，直接的字面意思就是說(shuō)在擴張后的語(yǔ)言所表述的邏輯中將會(huì )有更多的有效式，但更為重要的是，混合語(yǔ)言可以定義許多在標準模態(tài)語(yǔ)言中不能表達的框架性質(zhì)。表達能力的提高有利于更為直接、更為完備的框架可定義性理論的建立�；旌线壿嬛蝎@得的一般完全性理論也將比標準模態(tài)邏輯中相應的結果更為簡(jiǎn)單。模態(tài)邏輯的標準證明方法的應用比較復雜是因為很難處理模態(tài)算子轄域內的句子。在混合邏輯中，一些自然的工具如名字和滿(mǎn)足算子可以處理這一問(wèn)題�；旌线壿嬛械拿恳粋�(gè)模態(tài)化句子都可以分裂成幾個(gè)部分，其中一些部分載有一個(gè)模型的結構信息，而一個(gè)部分直接為我們給出原先處于模態(tài)算子轄域內的句子。把復雜信息分解成較為簡(jiǎn)單部分的這一自然方式，容易使經(jīng)典邏輯的非公理化方法移植到模態(tài)邏輯。因此，混合邏輯更為豐富的語(yǔ)言為模態(tài)證明論提供了更為一般且統一的句法背景。

值得一提的是，在很多情況下，我們不必為語(yǔ)言表達能力的提高而付出代價(jià)。邏輯的一個(gè)非常重要的特征是它們的可判定性及判定程序的復雜性。那些可判定的模態(tài)邏輯經(jīng)過(guò)混合化之后仍然是可判定的，而且通常的情況是復雜性也并沒(méi)有被觸動(dòng)。

可能世界語(yǔ)義學(xué)是模態(tài)邏輯最流行的語(yǔ)義學(xué)，也是最具哲學(xué)意義的語(yǔ)義學(xué)，在模態(tài)邏輯的對象語(yǔ)言中引入“可能世界的名字”作為一類(lèi)原子命題，非但沒(méi)有破壞模態(tài)邏輯的基礎，反而提高了它的表達能力，具有深刻的理論意義和哲學(xué)意義。

構造核證邏輯系統

混合邏輯是內部化了的可能世界語(yǔ)義學(xué)的模態(tài)邏輯，而核證邏輯內部化了證明方法論。一個(gè)自然而然的問(wèn)題是：是否具有核證邏輯形式的混合邏輯。也就是說(shuō)，把“可能世界的名字”引入核證邏輯，在一個(gè)邏輯中既內部化語(yǔ)義學(xué)又內部化證明，把這兩種思想組合到一個(gè)系統當中。這個(gè)方向開(kāi)始于世界著(zhù)名邏輯學(xué)家費汀在2010年的工作。我們的研究在其基礎上構造了混合邏輯形式的核證邏輯系統，把語(yǔ)義學(xué)內部化和證明內部化統一在一個(gè)形式系統內，建立起混合核證邏輯的極小系統，提出適當的語(yǔ)義解釋并給出完全性定理和實(shí)現定理的證明，從而解決了費汀提出來(lái)的未解決問(wèn)題——混合核證邏輯的極小系統問(wèn)題。

混合核證邏輯極小系統的建立對于混合核證邏輯這一族邏輯的研究具有重要意義，極小系統的發(fā)現意味著(zhù)這一族邏輯中“最普遍真理”的發(fā)現。從哲學(xué)上來(lái)說(shuō)，由一個(gè)名字命名的可能世界是一類(lèi)“事實(shí)”，在維特根斯坦看來(lái)，“邏輯空間中的諸事實(shí)即是世界”，構成一個(gè)世界的諸事實(shí)必須要能被驗證確實(shí)是構成了一個(gè)世界，這是建立并研究“混合的核證邏輯”的部分哲學(xué)意義。